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平面一般力系 第四章 4 1力线平移定理 4 2平面一般力系的简化 4 3平面一般力系的平衡条件及其应用 4 4物体系统的平衡问题 4 5静定和超静定的概念 4 6物体的重心 返回目录 掌握平面一般力系的简化 掌握平面一般力系的平衡条件及其应用 本章要点 4 1力的平移定理 如果一个力大小 方向均不变 只是将力的作用线平行移动到别处 称为力向一点平移 F F d M M Fd MO F 力的平移定理 作用于刚体上的力F 可以平移到同一刚体上的任一点O 但必须附加一个力偶 其力偶矩等于原力F对于新作用点O的矩 几个性质 1 当力线平移时 力的大小 方向都不改变 但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同 2 力线平移的过程是可逆的 即作用在同一平面内的一个力和一个力偶 总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力 3 力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据 返回 4 2平面一般力系的简化 1 平面一般力系向一点简化 O为简化中心 为任意点 这个力矢FR称为原平面任意力系的主矢 这个力偶矩MO 称为原平面任意力系对简化中心O的主矩 x y O F 1 F 2 F n M1 M2 Mn MO FR 平面一般力系 汇交力系 力偶系 作用在简化中心 作用在该平面上 4 2平面一般力系的简化 结论 平面任意力系向面内任一点的简化结果 是一个作用在简化中心的主矢 和一个对简化中心的主矩 1 平面一般力系向一点简化 O为简化中心 为任意点 x y O F 1 F 2 F n M1 M2 Mn MO FR 几点说明 1 平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关 2 平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关 因此 在说到力系的主矩时 一定要指明简化中心 1 FR 0 而MO 0 原力系合成为一个力 作用于点O的力FR就是原力系的合力 2 FR 0 而MO 0 原力系合成为力偶 这时力系主矩MO不随简化中心位置而变 3 FR 0 MO 0 原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力 这时力系也可合成为一个力 2 平面一般力系的简化结果 说明如下 4 FR 0 而MO 0 原力系平衡 平面任意力系若不平衡 则主矢不为零或当主矢主矩均不为零时 则该力系可以合成为一个力 平面任意力系若不平衡 则当主矢为零而主矩不为零时 则该力系可以合成为一个力偶 综上所述 可见 3 合力矩定理及其应用 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩 等于原力系中的各个力对该点的矩的代数和 合力矩定理 由前述可知 所以 合力矩定理应用 确定分布荷载的合力作用点位置 例 试求均布线荷载的合力及其作用点位置 解 1 求合力 任取微段dx dx x 设微段距O点为x dx微段上的合力为dF qdx 均布荷载的合力为 2 求合力作用点位置 dF对0点的矩为qxdx 合力对0点的矩为 X 2 例4 1图示简支梁上作用一分布载荷 其单位长度上受力的大小称为载荷集度 单位为牛顿 米 其左端的集度为零 右端集度为q 载荷的长度为l 载荷的方向垂直向下 求支承处对梁的约束力 首先在O点建立参考基 第二步作受力分析 主动力为分布载荷 忽略重力 且为一平行力系 约束反力 O为固定铰支座 A为活动铰支座 画出其反力 第三步 求主动力的合力 在坐标x处的载荷集度为qx l 在此处取的一微元dx 梁在微元段dx受的力近似为F x qx ldx 梁由x 0到x l的分布载荷合力为 将该力系中心的位置坐标记为xC 1 均布载荷 3 梯形载荷 分布荷载合力大小 载荷集度图的面积 结论 合力作用线位置由合力之矩定理确定 返回 平面一般力系平衡的充分必要条件 力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零 力系的各力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零 各力对任一点的矩的代数和也等于零 平衡方程 4 3平面一般力系的平衡方程及其应用 平面任意力系平衡方程的三种形式 一般式 A B两个取矩点连线 不得与投影轴垂直 A B C三个取矩点不得共线 二矩式 三矩式 应用平面力系平衡方程解题的步骤如下 1 确定研究对象 2 作出受力图 3 列平衡方程解之 例3 2试求支座A B的约束反力 解 1 画出ACB的受力图 根据 MA F 0 Fy 0 Fx 0 返回 讲解P42例题1 2 3 作业 P551至3 思考题 P551 2 4 4物体系统的平衡问题 所谓物体系统是指由两个或两个以上的物体通过约束按一定方式连接而成的系统 当系统平衡时 组成系统的每个物体也必将处于平衡状态 一般而言 系统由n个物体组成 如每个物体都是受平面一般力系作用 则共可列出3n个独立的平衡方程 讲解P47例题4 根据整体平衡与局部平衡的概念 求解物体系统的平衡问题有下列两种途径 第一种是先以整个系统为研究对象 解得全部未知量中的几个 再以系统中某部分物体作为研究对象 求出其余未知量 第二种是先取某部分物体作为研究对象 再取其他部分物体或整体作为研究对象 逐步求得所有未知量 至于采用何种途径求解 应根据问题的具体情况确定 原则是以较少的方程 解出所有的未知量 并且尽量使每一个方程中只包含一个未知量 以避免解联立方程 返回 讲解P48例题5 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接 并各以铰链A D连接于铅直墙上 如图所示 已知杆AC CB 杆DC与水平线成45o角 载荷F 10kN 作用于B处 设梁和杆的重量忽略不计 求铰链A的约束力和杆DC所受的力 例题4 1 1 取AB杆为研究对象 受力分析如图 A B D C FAy FAx l l A B C 2 列写平衡方程 解 3 求解平衡方程可得 若将力FAx和FAy合成 得 外伸梁的尺寸及载荷如图所示 F1 2kN F2 1 5kN M 1 2kN m l1 1 5m l2 2 5m 试求铰支座A及支座B的约束力 例题4 2 1 取梁为研究对象 受力分析如图 3 解方程 解 2 列平衡方程 F1 A B l2 l1 ll F2 M 如图所示为一悬臂梁 A为固定端 设梁上受强度为q的均布载荷作用 在自由端B受一集中力F和一力偶M作用 梁的跨度为l 求固定端的约束力 例题4 3 2 列平衡方程 3 解方程 1 取梁为研究对象 受力分析如图 解 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用 已知载荷集度 即梁的每单位长度上所受的力 q 100N m 力偶矩大小M 500N m 长度AB 3m DB 1m 求活动铰支D和固定铰支A的约束力 B 例题4 4 解 1 取梁AB为研究对象 2 受力分析如图 其中F q AB 300N 作用在AB的中点C 3 选如图坐标系 列平衡方程 4 联立求解 可得FD 475N FAx 0 FAy 175N 4 5静定和超静定的概念 如前所述未知量仅用平衡方程解出的系统平衡问题称为静定问题 如所研究的平衡问题未知量大于独立的平衡方程数目 仅用平衡方程就不可能全部解出 这类问题称为超静定问题 关于超静定问题将在后面讨论 本章研究的均是静定问题 请看例子 返回 4 6重心的概念 1 重心的概念是物体各部分所受重力之合力的作用点 1 重心在物体上的相对位置与物体在空间的位置无关 可由合力之矩定理来确定 2 重心不一定在物体上 3 对均质物体 其重心与形心重合 形心 由物体的几何形状和尺寸所决定的物体的几何中心 与物体的重量无关 特点 1 对称法 适用于匀质物体在对称面或对称轴或对称中心上 3 实验法 悬挂法 称重法 2 重心的求法 2 分割法 负面积法 适用于匀质物体 返回 作业 P564至6 思考题 P553 例 求 其重心坐标 已知 均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示 则 用虚线分割如图 为三个小矩形 其面积与坐标分别为 厚度方向重心坐标已确定 只求重心的x y坐标即可 解 负面积法 3 实验法 b 称重法 a 悬挂法 根据合力矩定理