3.4微分模型及其求解.ppt

wusm 例1某种产品的总成本C 万元 与产量q 万件 之间的函数关系式 即总成本函数 为 C C q 100 4q 0 2q2 0 01q3 求生产水平为q 10 万件 时的平均成本和边际成本 并从降低成本角度看 继续提高产量是否合适 wusm 第四节微分法模型及其求解 wusm 复习 wusm 一 边际问题 1 边际成本 边际成本的经济含义 产量为q时 再生产一个单位所增加的总成本 wusm 求 1 当产量为400件时的总成本 2 当产量为400件时的平均成本 3 当产量由400件增加到484件时 总成本的平均变化率 4 当产量为400件时的边际成本 例3 18设某产品产量为q件时的总成本函数 单位 元 为 wusm 解 1 产量为400件时 总成本为 2 当产量为400件时 平均成本为 3 当产量由400件增加到480件时 总成本的平均变化率为 wusm 4 当产量为400件时的边际成本为 上式的经济意义是 当产量为400件时 再多生产1件 成本将增加2 125元 元 件 为什么成本是增加不是减少 wusm 例1某种产品的总成本C 万元 与产量q 万件 之间的函数关系式 即总成本函数 为 C C q 100 4q 0 2q2 0 01q3 求生产水平为q 10 万件 时的平均成本和边际成本 并从降低成本角度看 继续提高产量是否合适 wusm 解当q 10时的总成本为 C 10 100 4 10 0 2 102 0 01 103 130 万元 所以平均成本 单位成本 为 C 10 10 130 10 13 元 件 边际成本MC C q 4 0 4q 0 03q2 MC q 10 4 0 4 10 0 03 102 3 元 件 wusm 因此在生产水平为10万件时 每增加一个产品总成本增加3元 远低于当前的单位成本 从降低成本角度看 应该继续提高产量 wusm 2 边际收入 设销售某种产品q单位时的总收入函数为R R q 则当q有一个改变量时 类似于对总成本函数的分析 总收入函数R q 的边际收入为 边际收入函数其经济含义为 销售量定时 再多销售一个单位产品所增加的销售收入 wusm 例3 19设某日用品的需求函数为q 200 10p 其中p 单位 元 为销售价格 q 单位 件 为需求量 亦为销售量 求边际收入函数及q 50件 100件和150件时的边际收入 wusm 而且再多销售一件该日用品 总收入将减少10元 由此可知 当销售量即需求量为50件时 总收入函数R q 在q 50附近单调增加 即销售量增加可使总收入增加 而且再多销售一件该日用品 总收入将增加10元 当销售量为100件时 总收入R q 达到最大值 再增加销售 总收入不会增加 当销售量为150件时 总收入函数R q 在q 150附近是单调减少的 wusm 3 边际利润 设销售某种产品q单位时的利润函数L L q 则当L q 可导时 称为销售量为q时的边际利润 它近似等于销售量为q时 再多销售一个单位产品所增加 或减少 的利润 因为利润函数L q 等于总收入函数R q 减去总成本函数C q 即 则由导数运算法则可知 wusm 例3 20某工厂每月生产q 吨 产品的总成本C 千元 是产量q的函数 如果每吨产品销售价格为1万元 求每月生产10吨 15吨 20吨时的边际利润 解每月生产q吨时的收入函数为 则生产q吨时的利润函数为 wusm 边际利润函数为 则每月生产10吨 15吨 20吨时的边际利润分别是 以上结果表明 当月产量为10吨时 再多生产1吨 利润将增加1万元 当月产量为15吨时 再多生产1吨 利润将不会增加 当月产量为20吨时 再多生产1吨 利润将减少1万元 wusm ML q 350 2 0 01 350 1 5 例2某公司总利润L 万元 与日产量q 吨 之间的函数关系式 即利润函数 为 L L q 2q 0 005q2 150 试求每天生产150吨 200吨 350吨时的边际利润 并说明经济含义 解边际利润ML L q 2 0 01q ML q 150 2 0 01 150 0 5 ML q 200 2 0 01 200 0 wusm 由此可见 该公司应该把日产量定在200吨 此时的总利润最大为 L 200 2 200 0 005 2002 150 50 万元 由此可知 当日产量在150吨时 每天增加1吨产量可增加总利润0 5万元 当日产量在200吨时 再增加产量 总利润已经不会增加 而当日产量在350吨时 每天产量再增加1吨反而使总利润减少1 5万元 从上例可以发现 公司获利最大的时候 边际利润为零 wusm 二 最优问题 产量是多少时 成本最低 收入最多 利润最大 建造产房 在一定的预算下 怎样选择长宽高 使厂房容积最大 wusm 问每年生产多少产品时 总利润最大 此时利润是多少 wusm 解 总成本 总利润 wusm 令 得 所以 此时 即当年产量为300个单位时 总利润最大 此时总利润为25000元 wusm 三 函数的弹性 定义3 2设函数y f x 可导 则y f x 在点x处的弹性为 函数y f x 在点x处的弹性反映了当自变量x相对变化百分之一时 函数f x 相对变化的百分数 wusm 经济学中 常用的是需求量q对价格p的弹性 称为需求弹性 记为 因为需求函数为价格的递减函数 即需求弹性一般为负值 所以其经济含义为 当某种商品的价格上升 或下降 1 时 其需求量将减少 或增加 wusm 1 当 即 时 称为单位弹性 2 当 即 时 称为富有弹性 3 当 即 时 称为缺乏弹性 wusm 例3 21某种商品的需求量q 单位 百件 与价格p 单位 千元 的关系为 求当价格为1万元时的需求弹性并说明其经济意义 wusm 解 将p 10代入上式 其经济意义 当价格为1万元时 需求弹性为5 1 表明这种商品的需求对价格富有弹性 即价格的变化对需求量有较大的影响 亦即当价格上涨1 时 商品的需求量将减少5 反之 当价格下降1 时 商品的需求量将增加5 wusm 例3 22设某商品的需求函数为 1 求需求弹性 2 讨论当价格为多少时 弹性分别为缺乏弹性 单位弹性 富有弹性 wusm 解 1 解得p 5 即当价格为p 5时 是单位弹性 令 解得5 p 8 即当价格为p满足5 p 8时 是富有弹性 wusm 令 解得0 p 5 即当价格为p满足0 p 5时 是缺乏弹性 wusm 练 某种商品的需求量q 单位 百件 与价格p 单位 千元 的关系为 求当价格为9千元时的需求弹性 wusm 经济意义 当价格为9千元时 价格上涨1 需求量将减少3 反之 价格下降1 需求量将增加3 wusm 总结 1 边际分析 包括边际成本 边际收入 边际利润 2 弹性分析 重点是需求量对价格的弹性